Jenis Bilangan Pertama

BILANGAN CACAH

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah  0.Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif
10 angka pertama Bilangan Cacah adalah (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
 

BILANGAN ASLI
Yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol (1,2,3,4,5,….). bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yang sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, sehingga wajar jika bilangan asli merupakan jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang dan menghitung.

10 angka pertama Bilangan Asli  adalah  (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)

BILANGAN GENAP
Bilangan Genap adalah bilangan yang habis dibagi 2 Contoh (2,4,6,8,....)
10 angka pertamanya adalah (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20)

BILANGAN GANJIL
Bilangan Ganjil adalah bilangan yang tidak habis dibagi 2 contoh (1,3,5,7,9,....)
10 angka pertamanya adalah  (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)


BILANGAN PRIMA

Merupakan bilangan asli yang hanya dapat dibagi oleh bilangan itu sendiri dan satu,  dengan kata lain bilangan prima hanya mempunyai 2 faktor, misalnya : 2,3,5,7,11,…..

10 angka pertamanya adalah(1,3,5,7,11,13,17,19,23,29)

BILANGAN KOMPOSIT

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.

10 angka pertamanya adalah  (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18)

BILANGAN PERSEGI

bilangan persegi: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ….
Mengapa disebut pola bilangan persegi? Perhatikan pola bilangan pada gambar berikut.

Ternyata banyaknya titik yang membentuk barisan persegi tersebut sama dengan cara mencari luas sebuah persegi, yaitu sisi x sisi. Maka untuk bilangan kesembilan dari pola tersebut adalah  81, didapat dari 9 x 9 = 81.

Jadi, rumus untuk mencari bilangan ke-n dari pola bilangan persegi adalah

n x n

10 angka pertamnya adalah (1,4,9,16,25,36,49,64,64,100)

BILANGAN SEGITIGA

Bilangan Segitiga adalah bilangan yang jumlahnya dapat disusun membentuk Segitiga.

Contohnya angka 3 dapat disusun dengan pola 2 lingkaran dan 1 lingkaran yang berada didepan tengah dari dua lingkaran sehingga jumlah lingkarannya 3 .

Berikut Contoh Gambarnya

Jadi, rumus untuk mencari bilangan ke-n dari pola bilangan segitiga adalah

1/2 x n (n + 1)

10 angka pertamanya adalah (1,3,6,10,15,21,28,36,45,55)

Baca selengkapnya »

TRANFORMASI

·  TRANSLASI (Pergeseran sejajar)

Sifat:

• Objek yang digerakkan arahnya sama
• Ukuran dan bentuk dengan Objek asal sama
• Objek dan imej menghadap arah yang sama
• Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.
  
  

·  REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis)

SIFAT-SIFAT

1. Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1
2. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
3. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:
• Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.
• Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.
4. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.
5. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
• Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.
• Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.
• Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.
  
  

·  ROTASI (Perputaran dengan pusat 0)

SIFAT-SIFAT

1. Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1
2. Dua rotasi berturut-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.
3. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.
   
   

·  DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0)

(0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k.

Jika A' adalah peta dari A, maka untuk:
a. k > 1 ® A' terletak pada perpanjangan OA
b. 0 < k < 1 ® A' terletak di antara O dan A
c. k > 0 ® A' terletak pada perpanjangan AO


Sifat :

·  berdasarkan atas faktor skala yang disimbolkan dengan "k"

·  apabila k : -1 < k< 0 maka garis tersebut di perkecil dengan arah berlawanan

·  apabila k : k < -1 maka garis tersebut diperbesar dengan arah berlawanan

·  apabila k bernilai + maka garis tersebut diperbesar searah

Baca selengkapnya »

5 versi terjadinya G30s/PKI

Hingga kini siapa dalang di balik peristiwa Gerakan 30 September (G30S) masih diselimuti mendung tebal. Namun, peristiwa coup d’etat yang disertai penculikan 6 jenderal Angkatan Darat (AD) itu tetap menggugah untuk diperdebatkan dan dicari kebenarannya. Sejarah memang tidak mengenal kata akhir, kata sejarawan Cornell University, Amerika Serikat (AS), Dominick LaCapra.
Pasca jatuhnya orde baru, versi tunggal milik pemerintah, yang menyatakan PKI sebagai dalang G30S, digugat (tapi kini akronim “G30S/PKI” diwajibkan kembali dalam buku pelajaran sejarah SMP-SMA). Sejak saat itu, tinjauan sejarah terhadap peristiwa kelabu tersebut kembali mendapat ‘angin surga’. Berbagai fakta baru tertungkap dan sejumlah versi pun bermunculan.
Namun, setidaknya ada 5 versi mainstream yang tetap bertahan mengenai peristiwa yang berbuntut pada pembantaian sekitar 500 ribu simpatisan PKI–paling tragis di Jawa dan Bali–hingga 1967 itu. Versi lain sebenarnya cukup bertebaran, tapi umumnya merupakan sempalan dari kelima analisa pokok tersebut.

Pembakaran Atribut PKI (Foto Sutarto/ISSI)

Versi pertama adalah versi AD, yang didukung oleh pemerintah otoriter Soeharto. Tahun 1994, sekretariat negara menerbitkan buku putih berjudul “Gerakan 30 September, Pemberontakan Partai Komunis Indonesia, Latar Belakang, Aksi, dan Penumpasannya”. Secara jelas, buku tersebut menuduh bahwa PKI-lah yang menjadi pelaku kup. Versi ini menjadi “the final and the whole truth” serta haram untuk dibantah selama puluhan tahun.
Namun, sejarawan LIPI Asvi Warman Adam mencatat, kalau buku putih itu dibaca dengan seksama, akan diperoleh kesimpulan yang tentu tidak diharapkan oleh pembuatnya. Terdapat indeks nama sebanyak 306 orang tokoh dalam buku itu. Presiden Soekarno disebut 128 kali, dua tokoh PKI (Aidit dan Syam, 77 kali), dan dua kubu perwira ABRI (107 kali).
“Dalam ‘indeks kata penting’, tiga kata yang paling sering muncul adalah 1) Gerakan Tiga Puluh September, 2) Dewan Revolusi, 3) Dewan Jenderal. Sedangkan kata ‘PKI’ hanya disebut dua kali. Jadi, buku ini berbicara lebih tentang tokoh PKI (atau menurut istilah Orde Baru, oknum), yaitu Aidit dan Syam, ketimbang mengenai PKI sebagai sebuah organisasi sosial-politik,” kata Asvi (Majalah TEMPO edisi 2-8 Oktober 2000).

Buku Putih G30S/PKI (Foto: Istimewa)

Versi kedua datang dari kolega LaCapra, B.R.O.G Anderson dan Ruth McVey. Tahun 1966, dua Indonesianis terkemuka itu menerbitkan tulisan berjudul “A Preliminary Analysis of The October 1, 1965: Coup in Indonesia,”. Tulisan yang lebih dikenal dengan sebutan “Cornell Paper” itu menyatakan bahwa PKI tidak memainkan peran sama sekali dalam kup. PKI tidak mempunyai motif apa pun untuk melakukan kudeta, karena partai pimpinan Aidit ini telah menikmati keuntungan yang besar di bawah pemerintah Soekarno.
Kup yang dilakukan sangat cepat itu adalah murni persoalan internal AD. Kudeta gagal tersebut, kata Anderson dan McVey, dipicu oleh kesenjangan yang dirasakan oleh beberapa kolonel divisi Diponegoro, Semarang. Kolonel seperti Untung, Supardjo, serta Latief kecewa atas kepemimpinan AD di pusat yang dianggap tercemar oleh gemerlap kehidupan Jakarta serta lemah sikap anti-komunisnya. Ketiganya lalu melancarkan pemberontakan.
Versi ketiga adalah kesimpulan dari John Hughes dan Antonie C Dake. Hughes melalui bukunya “The End of Soekarno” (1967) berpendapat bahwa Presiden Soekarno lah yang bertanggung jawab atas semua rangkaian peristiwa kelam itu. Menurutnya, tindakan Untung menciptakan G30S adalah atas dasar restu dari Soekarno. Sedangkan Dake dalam bukunya “Soekarno File, Berkas-berkas Soekarno 1965-1967, Kronologi Suatu Keruntuhan” mengatakan bahwa mastermind dari G30S adalah Soekarno. Tulisan Dake yang muncul sekitar tahun 2006 lalu ini mendapat reaksi cukup keras dari keluarga Soekarno.

Presiden Soekarno (Foto: istimewa)

Guru Besar Universitas Amsterdam, Wertheim, punya pandangan lain mengenai G30S yang kemudian menjadi versi keempat. Ia mengatakan, kuat dugaan bahwa Soeharto berada di balik kup tersebut. Hal itu didasari oleh pertanyaan simpel, mengapa Soeharto tidak menjadi target penculikan? Soeharto, yang juga berasal dari Kodam Diponegoro, tidak puas dengan kepemimpinan AD di bawah Ahmad Yani yang lemah terhadap PKI. Hal keterlibatan Soeharto ini juga didukung oleh kedekatannya dengan pemimpin gerakan, Latief. Latief diketahui menjenguk anaknya, Tommy Soeharto, yang sedang sakit sebelum terjadinya kup.
Versi terakhir dikembangkan oleh Peter Dale Scott. Ia mensinyalir keterlibatan pihak asing, khususnya AS melalui Central Intelligence Agency (CIA). Scott berusaha menarik hubungan antara kepentingan CIA dengan penggulingan Soekarno serta kedekatan badan intelijen AS tersebut dengan AD pada waktu itu. Menurutnya, Gestapu, respons yang ditunjukkan Seharto dengan mengambil alih keadaan, serta pertumpahan darah, adalah skenario AD untuk merebut kekuasaan. Soeharto dikatakannya bermuka dua, seolah-olah memihak status quo, namun sebenarnya punya rencana untuk menumbangkan Soekarno.

Soeharto (kanan) dan Soekarno

Hampir seluruh penelitian maupun kesaksian dari pelaku yang diterbitkan belakangan ini memiliki kecenderungan satu dari 5 tesis di atas. Entah sampai kapan misteri peristiwa yang menjadi pertanda beralihnya rezim Soekarno ke Soeharto itu akan terbuka secara utuh, sehingga tidak ada lagi pertanyaan yang muncul. Akan tetapi sejarah memang akan terus hidup, karena ia adalah dialog antara masa lalu dan masa kini.

Baca selengkapnya »

sejarah matematika

Cabang pengkajian yang dikenal sebagai sejarah matematika adalah penyelidikan terhadap asal mula penemuan di dalam matematika dan sedikit perluasannya, penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika pada masa silam.
Sebelum zaman modern dan penyebaran ilmu pengetahuan ke seluruh dunia, contoh-contoh tertulis dari pengembangan matematika telah mengalami kemilau hanya di beberapa tempat. Tulisan matematika terkuno yang telah ditemukan adalah Plimpton 322 (matematika Babilonia sekitar 1900 SM),^[1] Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir sekitar 2000-1800 SM)^[2] dan Lembaran Matematika Moskwa (matematika Mesir sekitar 1890 SM). Semua tulisan itu membahas teorema yang umum dikenal sebagai teorema Pythagoras, yang tampaknya menjadi pengembangan matematika tertua dan paling tersebar luas setelah aritmetika dasar dan geometri.
Sumbangan matematikawan Yunani memurnikan metode-metode (khususnya melalui pengenalan penalaran deduktif dan kekakuan matematika di dalam pembuktian matematika) dan perluasan pokok bahasan matematika.^[3] Kata "matematika" itu sendiri diturunkan dari kata Yunani kuno, μάθημα (mathema), yang berarti "mata pelajaran".^[4] Matematika Cina membuat sumbangan dini, termasuk notasi posisional. Sistem bilangan Hindu-Arab dan aturan penggunaan operasinya, digunakan hingga kini, mungkin dikembangakan melalui kuliah pada milenium pertama Masehi di dalam matematika India dan telah diteruskan ke Barat melalui matematika Islam.^[5][6] Matematika Islam, pada gilirannya, mengembangkan dan memperluas pengetahuan matematika ke peradaban ini.^[7] Banyak naskah berbahasa Yunani dan Arab tentang matematika kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, yang mengarah pada pengembangan matematika lebih jauh lagi di Zaman Pertengahan Eropa.
Dari zaman kuno melalui Zaman Pertengahan, ledakan kreativitas matematika seringkali diikuti oleh abad-abad kemandekan. Bermula pada abad Renaisans Italia pada abad ke-16, pengembangan matematika baru, berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru, dibuat pada pertumbuhan eksponensial yang berlanjut hingga kini.

Baca selengkapnya »

INTEGRAL

Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah 
Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

Integrasi parsial

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:

 Substitusi trigonometri

Bentuk	Gunakan

Integrasi pecahan parsial

[sunting]Rumus integrasi dasar

[sunting]

Trigonometri

[sunting]

Baca selengkapnya »